Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння

(1)

де - сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі

(2)

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі

(3)

Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним.

Нагадаємо, що оператор зсуву S

(4)

Далі, замість слів “різницеве рівняння” будемо використовувати позначення РР. Для однозначного визначення розв'язків РР достатньо задати початкові умови

(5)

Означення. Розв'язком РР (2) називається послідовність (k=0, 1, 2,...), яка при підстановці її в РР (2) перетворює його в тотожність.

Приклад. Покажемо, що послідовність є розв'язком РР . Підставляючи значення , в РР, одержимо тотожність

2. Однорідні різницеві рівняння

Наведемо деякі властивості розв'язків однорідного РР

(6)

Якщо РР (6) має частинні розв'язки , то воно має також розв'язок

Якщо РР (6) має два розв'язки то воно має також розв'язок Звідси маємо, що РР має розв'язок:

Означення: Розв'язок РР (6) при .

(7)

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2,..., Сn можна задовольнити довільні початкові умови (6).

Якщо (7) загальне рішення РР (7), то система лінійних алгебраїчних алгебраїчних рівнянь