Невласні інтеграли з безмежними границями та з необмеженою підінтегральною функцією

(91)

Можна довести, що для всіх (0, +∞) і (0, +∞) інтег¬рал (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною.

Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл

(92)

Покажемо, що невласний інтеграл (92) при > 0 збігається. Маємо

Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо

Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n - довільне натуральне число таке, що n > - 1, то

,

в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл части¬нами і враховуючи, що

Отже, інтеграл (92) при > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г().

Обчислимо значення Г() при а N. Якщо = 1, то

(93)

Нехай n + 1 інтегруючи частинами, дістанемо

звідки

Г(n +1) = nГ(n) (94)

З рівностей (93) і (94) випливає, що nN:

Г(n +1) = n!

Таким чином, гамма-функція для цілих значень n N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперерв¬ні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре ви¬вчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].

Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:

де > 0 і 0 < () < 1. Якщо в цій рівності покласти = n і помножити її на n, дістанемо

(95)

Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням

(96)