Невласні інтеграли з безмежними границями та з необмеженою підінтегральною функцією

Дослідити на збіжність інтеграл

Оскільки

то за теоремою 3 інтеграл збігається.

Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x) = на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Нехай функція f(x) визначена на про¬міжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) → ∞ при х → b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b - ] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя

(58)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

(59)

Отже, за означенням

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х = - особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:

Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 7.16).

Нарешті, якщо а та b - особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають

де с - довільна точка інтервалу (а; b).

Приклад

Обчислити невласні інтеграли:

а) ; б)

а)

Отже, інтеграл а) збіжний.

б) Якщо ¹ 1, то

Якщо = 1, то

Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 < < 1 і розбігається при ³ 1.

Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою