Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями

В точці функція не визначена, але вона має

скінчену границю в цій точці: . Це є усувний розрив, тому що функція

неперервна в точці .

2. Властивості функцій,

неперервних у замкнених областях

Ці властивості сформулюємо як теореми і дамо деякі пояснення, ілюструючи їх для функції , неперервної на відрізку .

Теорема. Якщо функція означена і неперервна в обмеженій замкнутій області , то функція обмежена, тобто існує число таке, що для всіх точок області .

Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , приймає в цій області своє найбільше і найменше значення, тобто

.

Смисл цієї теореми для функції , неперервної на відрізку , наочно ілюструється на рис. 5.2.

Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , між будь-якими двома своїми значеннями приймає всі проміжні значення, тобто, якщо , де і - якість значення функції в області , то в цій області є точка , в якій .

Смисл цієї теореми для функції чітко ілюструється на рис. 5.3.

Наслідок. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області і в точках цієї області , то в існує точка така, що .Смисл цього твердження для функції (рис.5.4).

Доведення перелічених теорем в нашому курсі ми не розглядаємо. Лише зауважимо, що для функцій, неперервних в незамкнутих або необмежених областях, наведені в цих теоремах властивості можуть не мати місця.Поняття неперервності функції в точці, в області та перелічені властивості неперервних функцій двох змінних узагальнюються на функції трьох і більшого числа змінних.

Рис.5.2 Рис.5.3 Рис.5.4

3. Павутинні моделі ринку

Властивість неперервної функції на замкнутому проміжку (теорема про існування кореня функції) знаходить застосування в моделях ринку. Як відомо, дві основні категорії ринкових відношень - це попит і пропозиція. Обидві ці категорії залежать від багатьох факторів, серед яких головний - це ціна товару. Нехай ціна товару, об'єм попиту, величина пропозиції (від перших букв англійських слів price - ціна, demand - попит, supply - пропозиція ). При малих маємо (попит перевищує пропозицію), при великих навпаки, Вважаючи і неперервними функціями, приходимо до висновку, що існує така ціна для якої тобто попит дорівнює пропозиції. Ціна рівноважною, попит і пропозиція при цій ціні також називаються рівноважними.

Встановлення рівноважної ціни - одна з головних задач ринку. Розглянемо просту модель пошуку рівноважної ціни - так звану павутинну модель. Вона пояснює феномен циклів зміни об'ємів продажі і цін, що регулярно повторюються, наприклад, сільськогосподарських товарів.

Припустимо, що рішення про величину об'єму виробництва приймається в залежності від ціни товару в попередній період часу. Так, площу, що відводиться під сільськогосподарську культуру, вибирають в залежності від її ціни, що склалася в попередній рік.