Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями

Неперервність основних елементарних функцій.

Користуючись означенням неперервності функцій, покажемо, наприклад, що функція неперервна в кожній точці числової осі.

Візьмемо довільну точку . Тоді для будь-якого числа повинно існувати таке число , що нерівність

виконується для всіх , що задовольнять нерівності .

Покажемо, що таке число існує. Для цього ліву частину нерівності запишемо у вигляді

Таким чином, для того щоб виконувалася нерівність

,

достатньо, щоб .

Поклавши , впевнюємося, що з нерівності випливає нерівність . Це й доводить неперервність функції у довільній точці числової осі.

Аналогічно розглядаючи кожну елементарну функцію, можна було б довести теорему .

Теорема. Кожна елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона означена.

Класифікація розривів неперервності функції.Означення. Точка називається точкою згущення множини , якщо в кожному її колі знаходиться хоча б одна точка, відмінна від .

Точка згущення може і належати області , але може і не належати їй. Очевидно, що всі внутрішні точки множини є точками згущення і при цьому належать . Граничні точки можуть бути точками згущення , а можуть і не бути (їх тоді називають ізольованими).

Означення. Кожна точка згущення області означення функції , що не є точкою неперервності, називається точкою розриву цієї функції.

Означення. Лінія площини аргументів , всі точки якої є точками розриву функції , називається лінією розриву цієї функції.

Приклади.

1. Початок координат є точкою розриву функції

.

Справді, областю існування є вся площина , крім точки . Точка є точкою згущення цієї області, але не є точкою неперервності , оскільки не має числового значення в точці ; крім того, функція не має границі при (довести).

2. Функція задана формулою

.

Областю існування є вся площина , крім параболи . Всі точки цієї параболи є точками розриву , оскільки кожна з них є точкою згущення , але не належить , тому не має числового значення в кожній такій точці; крім того, має нескінченну границю при прямуванні точки до будь-якої точки цієї параболи. Тому парабола є лінія розриву функції .

Зупинимось на функції , яка визначена на відрізку . В точках і можна ставити питання про односторонню неперервність, а саме, в точці можна ставити питання про неперервність справа, а в точці - зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції зліва і справа.