Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями

Приріст

називається повним приростом функції в точці , відповідним приростfм і незалежних змінних.

Означення 3. Функція називається неперервною в точці , якщо

.

Легко бачити, що наведені означення неперервності функції в точці є еквівалентні між собою в тому розумінні, що коли функція неперервна в точці за яким-небудь одним означенням, то вона неперервна і за рештою означень та навпаки.

Будемо називати функцію неперервною в області (замкнутій чи незамкнутій), якщо вона неперервна в кожній її точці. При цьому неперервність в будь-якій граничній точці області визначається так: функція неперервна в граничній точці , якщо для будь-якого додатного числа існує число таке, що для всіх точок області , які задовольняють умові , виконується нерівність .

Спираючись на теореми про границі і на означення неперервності легко переконатися в такому.

Теорема. Сума, різниця, добуток і частка від ділення двох неперервних функцій також неперервна (для частки - за винятком тих значень аргументів, що перетворюють на нуль знаменник), тобто, якщо і неперервні в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції

Неперервність складної функції, неперервність оберненої функції. Сформулюємо відповідні теореми для функції однієї змінної.

Нехай - деяка функція аргументу , а - деяка функція аргументу , при цьому область означення першої функції має спільну частину з областю значень другої функції. За цих умов на тій частині області значення функції , яка відповідає , буде означена складна функція .

Нехай в деякій точці функція неперервна функція аргументу , а у відповідній точці функція неперервна як функція аргументу . Інакше,

,

.

Тоді

,

що доводить теорему.

Теорема. Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то й функція неперервна в точці .

Враховуючи можливість поширення доведеного твердження на будь-яке (означене) число накладання функціональних залежностей, можна сформулювати теорему.

Теорема. Якщо накладання будь-якого (означеного) числа неперервних функціональних залежностей приводить до складної функції, то вона буде неперервною функцією основного аргументу.

Сформулюємо теорему, яка дає достатні умови існування та неперервності оберненої функції.

Теорема. Якщо функція визначена на відрізку і є на цьому відрізку неперервною і зростаючою (спадною), то для цієї функції на відрізку існує обернена функція , яка на відрізку є також неперервною і зростаючою (спадною).