Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів

Аналогічно.

Отже, маємо систему рівнянь:

Віднявши від першого рівняння друге, одержимо

Тоді

Отже,

2. Векторний добуток двох векторів

Як відомо із шкільного курсу фізики, моментом сили відносно точки називається добуток сили на довжину плеча (плече сили - це відрізок від точки до лінії дії сили ), тобто . Розглянемо силу , момент якої відносно точки треба знайти. Очевидно, момент буде повністю визначений, якщо будуть задані:

1) числові значення моменту, що дорівнює ;

2) площина, у якій лежать сила і точка ;

3) напрям, в якому діє сила.

Всі ці три характеристики можна виразити за допомогою одного вектора , якщо 1) ; 2) ( - площина); 3) спрямуємо вектор так, щоб цей напрямок був деяким однозначним чином зв'язаний з напрямом сили (рис. 2.13 а,б). У ролі такого зв'язку

між напрямами виберемо “правило свердлика “: проведемо вектор так, щоб обертання головки свердлика збігалося з напрямом дії сили, а поступальний рух свердлика збігався з напрямом вектора . Тоді, у випадку, показаному на рис. 2.13б - донизу. Вектор є вектором моменту сили. Якщо ввести в розгляд вектор (рис.2.13), то, враховуючи, що

Рис. 2.13а Рис.2.13б

, матимемо числове значення вектора :

а напрямок його визначається за “правилом свердлика”. Вектор можна паралельно перенести в точку . Добуток можна трактувати як площу паралелограма, побудованого на векторах і .

Розглянемо впорядковану трійку векторів яка віднесена до спільного початку. Вектори утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора видно найкоротший поворот від вектора до вектора проти стрілки годинника. В противному випадку, якщо цей поворот видно за стрілкою годинника, то вектори утворюють ліву трійку.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор

називається такий третій вектор , довжина якого чисельно

дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, що вектори утворюють праву трійку.

З означення випливає, що довжина вектора становить

.