Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів

Якщо то Якщо то або або або а у нульового вектора напрям - довільний.

20. - випливає зразу з означення .

30.

40..

Нехай Тоді

,

бо добутки взаємно перпендикулярних одиничних векторів дорівнюють нулю, а добутки паралельних однаково спрямованих одиничних векторів дорівнюють одиниці.

Отже,

, (2.9)

тобто дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів.

Якщо , то з (2.9) маємо

(2.10)

Тому (2.11)

З формули (2.10) маємо . (2.12)

Формулами (2.10) і (2.12) визначаються відповідно квадрат довжини вектора і квадрат віддалі між точками і .

Якщо вектор -одиничний, то його проекціями на осі координат і відповідно є і . Тому з формули (2.11) маємо

. (2.13)

Оскільки , то

. (2.14)

Якщо у формулі (2.14) вектор ,то одержимо косинус кута, що його утворює вектор з віссю :

Аналогічно матимемо косинуси кутів і вектора з осями відповідно і:

Приклад. Визначити кут між векторами і , якщо вектор

перпендикулярний до вектора , а вектор перпендикулярний до вектора .

Р о з в ' я з о к. Із перпендикулярності векторів і маємо

.