Функції та способи їх задання

Графіки взаємно обернених функцій си¬метричні відносно прямої у = х (рис. 3.1).

Означення: Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається

неявною, якщо задана рівнянням F(x, у) = 0, яке не розв'язане відносно змінної y.

Приклад: Рівняння у+х+2у=0 ви¬значає неявну функцію у від х.

Загальні властивості функцій

Означення: Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчисли¬ти значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежить також від умови задачі.

Приклад: Знайти область визначення функції

D(y)=(-1; 0)(0; 1] - природна область визначення. Якщо за умо¬вою задачі х - відстань, а це означає, що х 0, тоді D(y)==(0; 1] - зада¬на область визначення.

Означення: Функція у = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х D виконується умова f(-x) =f(x) (f(-x) = -f(х)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х D, f(-x)f(x).

Приклад: у = cos х - парна функція (графік функції симетричний від¬носно осі ординат (рис. 3.2)), бо у(х)=cos(- х)=cosx=у(х);у=arctgx - непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо у(- х)= =arctg(- х)= - arctgx = - у(х); у = arccosx - ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо у(-x)=arccos(-х)= - arccosx * ± у(х).

Означення: Функція у = f(x) називається періодичною, якщо для х D виконується умова f(x+Т) = f(x -T) = f(x), де число Т - період функції.

Приклад: у = tgx - періодична функція з мінімальним періодом Т =

(див. рис. 3.5), бо tg(x +) = tg(х -) = tgx .

Означення: Функція у - f(x) називається обмеженою на множині D, якщо для всіх х D виконується умова де М > 0 - деяке скінченне число.

Приклад: y = arcsinx - обмежена функція для всіх х [- 1; 1] (рис. 3.6), бо

Означення: Функція у - f(x) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх х D більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Приклад: у = loga х - монотонно спадна функція при 0 < а <1, а при а > 1 - монотонно зростаюча (рис. 3.7).

3.1.3. Елементарні функції

Основні з них:

1) степенева у = ха;

1) степенева у = ха;

2) показникова у = ах, а > 0, а 1 (рис. 3.8);