Числові послідовності

Розглянемо випадок, коли і є нескінченно великі числові послідовності, тобто

Легко бачити, що арифметична сума і добуток цих послідовностей є також нескінченно велика числова послідовність. Проте нічого конкретного в загальному випадку не можна сказати про частку від ділення та різницю цих послідовностей. Частка від ділення таких послідовностей залежно від закону зміни і може

поводити себе по-різному. Кожного разу відношення треба досліджувати. Тому говорять, що відношення якщо є невизначеність. І цю невизначеність символічно позначають так:

Приклади.

1. Знайти

Р о з в ' я з о к. Розкрити невизначеність В цьому випадку поступають так: чисельник і знаменник ділять на (від цього дріб не змінюється ), а потім застосовують теореми про границі частки і суми. Наведемо повний запис обчислення границі:

2. Знайти

Р о з в ' я з о к.

3. Знайти

Р о з в ' я з о к.

Сказане про частку стосується й різниці двох нескінченно великих числових послідовностей. Якщо то різницю називають невизначеністю виду

Приклад. Знайти

Р о з в ' я з о к. Тут маємо невизначеність виду Для її розкриття позбавляємося ірраціональності у чисельнику.

Матимемо

З аналогічним фактом ми зустрічаємось у випадку відношення двох нескінченно малих числових послідовностей. Якщо то частка від ділення може також поводити себе по - різному. Цю невизначеність називають невизначеністю виду Цю, а також й інші невизначеності розглянемо в наступних параграфах.

6. Границя монотонної числової послідовності

Основні теореми про границі дають змогу встановлювати та знаходити числове значення границі заданої числової послідовності за допомогою границь інших числових послідовностей, певним чином пов'язаних з розглядуваною. Проте в деяких випадках як теоретичного, так і практичного характеру не завжди можна використати ці теореми. Тому доводиться застосовувати інші способи, зокрема ознаки збіжності числових послідовностей.

Теорема 1. Якщо послідовність

(5.10)

є монотонно зростаюча (спадна) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.