Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність

є знакододатний. Порівнюючи його з рядом

маємо

Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при , отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.

Оскільки ряд, члени якого – абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд є абсолютно збіжним, ми можемо використовувати ознаки збіжності, виведені для знакододатних рядів, замінивши у відповідних виразах члени даного ряду їх абсолютними значеннями. Так, ознака Даламбера збіжності ряду запишеться тоді у вигляді ознака Коші – у вигляді: і т.п.

Означення. Якщо ряд (*) збіжний, а ряд розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним.

Отже, ряд

умовно збіжний,

Так само ряд

умовно збіжний, бо ряд

є ряд Діріхле-Рімана, в якому

Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.

План.

1.Означення знакочергуючого ряду.

2.Ознака Лейбніца.

3.Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.

Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:

де - додатні числа.

Теорема Лейбніца. Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто до того ж ), тоді знакозмінний ряд збігається, причому сума його має числове значення, проміжне між нулем та першим членом

Доведення. Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку , причому запишемо її в двох різних виглядах:

1 .

Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже, монотонно зростає при збільшенні К.

2З другого боку

Бачимо, що < , для всіх значень k > 1. Отже, обмежена зверху.