Наближення сплайнами третього степеня

Зазначимо, що в [4, ст.115] одержана оцінка для класичного сплайна

Вона вдвічі менша за (21). Але в нашому випадку ми можемо, не розв’язуючи систему, зразу записати сплайн

При цьому точність по порядку збігається.

Якщо значення функції визначаються експериментально, то вони включають в себе похибку експерименту. Може виявитися, що сильно змінюється на окремих ділянках. В цьому випадку апроксимуючу функцію слід будувати таким чином, щоб похибка експерименту не впливала б суттєво на кінцевий результат і апроксимуюча функцію була б більш гладкою. Розглянемо задачу про побудову такої функції.

Серед функцій знайти таку, яка б мінімізувала функціонал

де - деякі додатні числа (вагові коефіцієнти). Чим менші вагові коефіцієнти , тим більший вклад у функціонал вносять інтегральні умови, тим ближче до заданих значень проходить згладжувальна функція.

Виявляється, що розв’язком варіаційної задачі (22) є кубічний сплайн, тобто функція , яка задовольняє умовам:

Для побудови зладжувального сплайна як і для інтерполяційного застосовуємо моментний метод. Необхідна умова мінімуму функціонала записується у такому вигляді

Із умови неперервності перших похідних при стикуванні кусково-кубічних функцій одержимо крайову задачу

Після виключення із системи (23), (24) приходимо до крайової задачі відносно при заданих

Використовуючи формули підсумовування частинами, можна показати, що оператор задачі (25) самоспряжений та додатньо визначений. Тому ця задача має єдиний розв’язок.

Після того як будуть знайдені, значення сплайна визначимо за формулами (23), а потім можемо обчислити сплайн, використовуючи зображення

Дуже важливим моментом при побудові згладжувального сплайна є вибір вагових множників . Зрозуміло, що коли всі =0, то і згладжувальний сплайн перетворюється в інтерполяційний. З цього випливає, що чим точніше задані у вузлах сітки тим меншими повинні бути вагові коефіцієнти . Якщо треба закріпити деяку точку з номером 1, то треба покласти =0. В практичних задачах, як правило, відомі похибки у визначенні величини , тобто

де - точні значення. В такій ситуації природно вимагати, щоб згладжувальний сплайн задовольняв умовам

Побудуємо алгоритм знаходження таких вагових множників і відповідних їм , для яких виконувались би умови (26).

Введемо позначення

Перепишемо системи (23) та (25) у вигляді

Умову (26) запишемо у вигляді

Для знаходження, використаємо ітераційний процес

Тут - номер ітерації, а початкове наближення - це розв’язок задачі

Із (30), враховуючи, що , маємо