Наближення сплайнами третього степеня

Слід відзначити, що при цьому для обчислення , , , треба знати зовні відрізка [a,b] значення f-2, f-1, fn+1, fn+2, які визначаються кубічною інтерполяцією з використанням умов

На користь локальної інтерполяції вказує і та обставина, що значення відомі, як правило, з деякою похибкою.

Іноді зручно використовувати таку форму запису кубічного сплайна

При побудові кубічного інтерполяційного сплайна дефекту 1 попутно знаходяться значення похідних першого та другого порядків

де одержується при розв’язуванні системи (6), а визначаються формулами (4), (4`).

Кубічні сплайни мають дуже важливу властивість, яка обумовлює високу ефективність сплайн-інтерполяції. Виявляється, що серед всіх функцій , які інтерполюють функцію, кубічний сплайн з крайовими умовами

Цей факт дає змогу по іншому визначити кубічний інтерполяційний сплайн: це така функція із класу , яка у вузлах сітки приймає значення і мінімізує функціонал (12).

Якщо то при використанні умов (12) при побудові сплайна погіршується точність наближених формул поблизу границі. Коли та відомі, то слід покласти , . Якщо в кінцевих точках відрізка відома перша похідна, то додаткові співвідношення можна одержати, використовуючи (4`), (4``).

Так поклавши в (4``) i=0 та прирівнявши одержаний вираз до , маємо

Якщо ж невідоме, то можна діяти таким чином. Будується інтерполяційний поліном 3-го степеня для за точками x0, x1, x2, x3. Значення апроксимується виразом і покладається

Для знаходження параметрів одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з трьохдіагональною матрицею. Матриця системи симетрична з діагональним переважанням і, отже, з визначником відмінним від нуля.

Розглянемо ще один підхід до побудови інтерполяційних сплайнів. Сплайн для візьмемо у вигляді

Знайдемо залишковий член інтерполяції для .

Скориставшись інтегральним зображенням для функції :Тут крім (17) використаємо ще інтегральне зображення для другої похідної від функції

Позначимо і скористаємося теоремою про середнє. Тоді

Якщо в рівності за взяти лінійну комбінацію

Для перетворення скористаємося інтегральним зображенням для і теоремою про середнє. Одержимо

Звідси одержуємо

Аналогічно для маємо

Використовуючи нерівність трикутника, одержуємо

Остаточно маємо