Наближення сплайнами третього степеня

Відомо, що інтерполяція по вузлах, що співпадають з нулями многочлена Чебишева практично не відрізняється від найкращого рівномірного наближення многочленами такого ж порядку. Але цей факт дозволяє проілюструвати суттєве обмеження апроксимації многочленами: якщо функція, яку ми наближуємо, має особливості в деяких точках на інтервалі інтерполяції, то вона погано наближатиметься на всьому інтервалі. Крім того при роботі з многочленами в процесі обчислень швидко накопичуються похибки заокруглень. Вони вже великі для . При використанні многочленів високих степенів їх графіки, як правило, мають осциляції. Цієї загальної залежності можна запобігти, якщо використовувати кусково апроксимуючі функції. При цьому необхідно ставити умови достатньої гладкості спряження графіків многочленів. Під цим розуміють вимогу, щоб в точці з’єднання сусідніх ділянок многочлени, які належать лівій та правій ділянкам і похідні від них до певного порядку співпадали.

Цю задачу добре розв’язують так звані поліноміальні сплайни. Нагадаємо визначення сплайна. На відрізку введемо сітку

Функцію називають поліноміальним сплайном степеня m дефекту гладкості k на [a,b], якщо виконуються умови:

1. має на [a,b] неперервні похідні до порядку m-k включно;

2. На кожному відрізку многочлен степеня не вище m. Точки називаються вузлами сплайна .

Простим прикладом сплайна є залишковий член інтерполяції.

Нехай функція u(x) визначена на відрізку і нехай на ньому взято n+1 вузол . Якщо в точках виконуються умови , то називають інтерполяційним сплайном для функції u(x), а вузли - вузлами інтерполяції.

Лінійний інтерполяційний сплайн записують у вигляді

а кубічний (дефекту 1) у вигляді

В (2) і (3) вузли сплайна і вузли інтерполяції співпадають.

Перші два доданки кубічного сплайна відповідають лінійному сплайну, а кубічна поправка забезпечує додаткову гладкість. Із зображення (3) випливає властивість інтерполяції незалежно від вибору . Через те, що - лінійна функція, то з (3) одержуємо

Для визначення через значення f(x) у вузлах скористаємося умовою неперервності перших похідних сплайна в точках розбиття.

Обчислення в граничній точці відрізків дає

Умова гладкості приводить до співвідношень

Це система n-1 лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих . Тому задаються ще дві умови, а потім розв’язують методом прогонки відповідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Якщо в процесі роботи зі сплайнами значення змінюються, то систему рівнянь ми змушені розв’язувати заново. Тому зручнішими для цього виявляються інтерполянти локального характеру. Перепишемо систему для визначення у вигляді

де введені такі позначення для різницевих похідних на нерівномірній сітці

Із (6) випливають наближені формули

Із (7) і (8) випливає, що без розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна наближено обчислити параметри сплайна. Якщо використовується (7), то одержуємо так званий локальний дискретний кубічний сплайн, а якщо (8) - більш точний.