Класичне означення ймовірності

Частота випадкової події. Нехай простір елементарних подій. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Повторимо експеримент n раз. Позначимо через Kn(А) - число експериментів, в яких відбулася подія А . Частотою подій А називається відношення

.

Частота може бути обчислена лише після того, як проведена серія експериментів, і, взагалі кажучи, частота змінюється, при переході від однієї до інщої серії з n експериментів, або з зміною n. Але, як показує досвід, при достатньо великих n для більшості таких серій експериментів частота зберігає майже постійну величину, причому великі відхилення спостерігаються тим рідше, чим більше n.

Якщо при великих n частота події А мало відрізняється від деякого фіксованого значення р, то говорять, що подія А стохастично стійка, а число р є ймовірностю події А. Тобто, ймовірність події А є число близьке до частоти появи події А в довгій серії тотожніх експериментів.

Ймовірності в дискретних просторах елементарних подій. Простір елементарних подій називається дискретним, якщо множина скінченна або зліченна.

Нехай простір ={ ω1, ω2 , … , ωn, …}елементарних подій дискретний. Припустимо, що кожній елементарній події ωк можна поставити у відповідність невід’ємне число рк (ймовірність ω к ), причому . Якщо Авипадкова подія ( А ), то , де р(А) називається ймовірністю події А.

Мають місце властивості:

a)P(A)≥0,

b)P (А В)=P(A)+ P(B), якщо А та В несумісні.

c) Р( )=1.

Приклад 1 . Нехай підкидають симетричний шестиграний кубик. Тоді в якості природньо розглянути множину =1,2,3,4,5,6. Якщо кубик симетричний, то кожна елементарна подія і=і є рівноможливою, тому припишемо їй ймовірність 1/6. Тим самим буде побудована ймовірнісна модель експерименту, який полягає в підкиданні шестигранного симетричного грального кубика. Якщо Авипадкова подія, яка полягає в тому, що число очок, яке з’явиться, кратне 3, тобто А={3,6}, то Р(А) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Приклад 2. Нехай симетричну монету підкидають до того часу, поки вперше не з’явиться герб. Тоді ={W1,W2 , … , Wn , … W}, де Wn = Р … РГ означає, що герб вперше з’явиться при n-тому підкиданні монети, а

W елементарна подія, яка означає що герб ніколи не з’явиться. Припишемо Wn ймовірність ½n , а W ймовірність 0. Тоді . Таким чином, побудована ймовірнісна модель експерименту, який полягає в підкиданні монети до першої появи герба. Підрахуємо тепер ймовірність події А , яка полягає в тому, що буде проведено не більше трьох підкидань монети (А={Г, РГ, РРГ}). Маємо .

Класична схема. Нехай простір складається з n елементарних рівноможливих подій, тобто для довільного. До складу А входить m з цих подій. В цьому випадку ймовірність події А визначається формулою .

Це так зване класичне означення ймовірності.

При розрахунках ймовірностей в класичній схемі мають справу з елементами комбінаторики.

Основний принцип комбінаторики (правило множення).

Нехай треба послідовно виконати к дій. Якщо першу дію можна виконати n1  способами, після чого другу n2 способами, потім третю