Послідовності випадкових величин. Граничні теореми

Розв’язок. Знайдемо математичне сподівання та дисперсію дискретної випадкової величини - числа появ події А в100 незалежних випробовуваннях. Знайдемо максимальну різницю між

заданим числом появ події та математичним сподіванням М =50: =60-50=10.

Скористаємося нерівністю Чебишова в формі

.

Підставляючи М =50, D =25, =10, одержимо

Задача 3. Ймовірність деякої події А в кожному випробовуванні із серії n незалежних випробувань дорівнює р= . Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній

60

величині не більше чим на 0, 01, якщо буде проведено n=9000 випробувань ( Відповідь 0, 75 ).

Задача 4. Послідовність незалежних випадкових величин 1, 2 ,…, n,… задана законом розподілу

Чи можна застосувати до заданної послідовності теорему Чебишева?

Розв’язок. Для того, щоб до заданої послідовності випадкових величин була застосована теорема Чебишова, достатньо, щоб ці величини були попарно незалежні, мали скінчене математичне сподівання та рівномірно обмежені дисперсії.

Оскільки випадкові величини незалежні, то вони і подавно незалежні, тобто перша вимога теореми Чебишова виконується.

Перевіримо чи виконується вимога скінченості математичних сподівань:

Таким чином, кожна випадкова величина має скінчене ( рівне нулю ) математичне сподівання , тобто друга умова теореми виконана.

Перевіримо, чи виконується вимога рівномірної обмеженості дисперсії. Запишемо закон розподілу :

Звідси випливає, що дисперсії заданих випадкових величин рівномірно обмежені числом . Таким чином, до заданної послідовності випадкових величини можна застосувати теорему Чебишева.

Задача 5. Випадкові величини 1, 2 ,…, n,… - незалежні і рівномірно розподілені на відрізку [a, b]. Чи можна застосувати до цієї послідовності закон великих чисел ?

Задача 6. Нехай { - послідовність взаємно незалежних випадкових величин, кожна з яких приймає тільки 4 значення: з ймовірністю ( 1- ) і з ймовірностями

. Довести, що ця послідовність підчиняється як звичайному так і посиленому закону великих чисел ( теорема Колмагорова ).

Задача 7. Якщо { -послідовність незалежних випадкових величин, для яких , то до цієї послідовності можна застосувати закон великих чисел

( теорем Хінчина ).

Задача 8. Я кщо сумісний розподіл ( 1, 2 ,…, n) визначений для всіх n, причому