Послідовності випадкових величин. Граничні теореми

Послідовність незалежних випробовувань з двома наслідками.Будемо вважати, що проведено n –незалежних випробовувань, в кожному із яких можна спостерігати: успіх з ймовірністю p та невдачу з ймовірністю q (p+q=1) .Нехай - число успіхів при n випробуваннях. Тоді

m=0,1,…,n;

При великих значеннях n та m обчислення ймовірністі Bp= (n, m) по формулі (1 ) викликає затруднення. Виникає необхідність в асимтотичних формулах, які дозволяють з достатньою точністю визначити ці ймовірності.

Теорема 1. Локальна гранична теорема. Позначемо = np, = npq,Тоді, якщо при, де с- деяка стала, то

Теорема2. Якщо = np , де с –довільна стала, то для всіх m

3.1 Закон великих чисел

Визначення. Говорять, що послідовність випадкових величин , по ймовірності збігається до випадкової величини , якщо для довільного

Р { }=0 . Збіжність по ймовірності послідовності до позначають так : =plim , або .

Нехай послідовність випадкових величин , для яких існують М . Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця

збігається до нуля по ймовірності.

Задача. Довести, коли існує M 2 i М =а , то ( нерівність Чебишова ).

57

Теорема Чебишова. Нехай { }- послідовність незалежних випадкових величин, існують D i D при всіх n. Тоді

Наслідок. Нехай 1, 2 ,…, n,…- послідовність незалежних випадкових величин така, що М =а, D , n=1,2,…

Тоді для кожного

.

Цей частковий випадок теореми Чебишова дає обгрунтуваня правилу середнього арифметичного в теорії обробки результатів вимірювання. Припустимо, що необхідно виміряти деяку фізичну величину а. Повторюючи вимірювання n раз в одинакових умовах, спостерігач одержує результати вимірювань 1, 2 ,…, n [1]. Якщо спостереження не мають систематичної помилки, тобто М =а, то згідно сформульованому вище наслідку,

Теорема Хінчина. Нехай { }- послідовність незалежних одинаково розподілених величин, які мають скінчене математичне сподівання М =а. Тоді для кожного

.

Теорема Маркова. Нехай випадкові величини 1, 2 ,…, n як завгодно залежні. Для виконання ( * ) достатньо, щоб

при.

Теорема Бернуллі. Нехай маємо послідовність випробовувань, в кожному з яких можуть бути два наслідки- успіх У ( з ймовірністю р ) або невдача Н ( з ймовірністю q=1-p) незалежно від наслідків інших випробувань. Утворимо послідовність випадкових величин наступним чином. Нехай к =1, якщо в к-тому випробовуванні був успіх к =0, якщо в к-тому випробовуванні наступила невдача. Тоді { }- є послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин M к=p, D к=pq. Випадкова величина представляє собою частоту появи успіху в перших n випрбуваннях. Оскільки для послідовності { }-виконані умови теореми Чебишова, то із теореми Чебишова одержуємо наступне твердження.