Послідовності випадкових величин. Граничні теореми

Теорема Бернуллі. Для довільного Р{ при n .

Зміст цього твердження полягає в тому, що ведене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.

3.2 Посилений закон великих чисел.

Послідовність випадкових величин { ,n }- збігається з ймовірністю 1 до величини , якщо ймовірність всіх тих точок , для яких не існує,

або , дорівнює нулю, тобто якщо Р{{ .

Розглянемо послідовність випадкових величин k з скінченими математичними сподіваннями. Теореми, які стверджують, що різниця збігається з ймовірністю 1 до нуля, називається посиленим законом великих чисел. Нижче приводиться дві теореми про посилений закон великих чисел, обидві вони доведені.

А. М. Колмагоровим.

Теорема 1. Нехай n – послідовність незалежних випадкових величин, для яких М , D визначені. Якщо

, то Р { - )=0}=1.

Наслідок ( теорема Бореля ). Припустимо, що розглядається послідовність незалежних випробувань, в кожному з яких з’являеться успіх У з ймовірністю р або невдача Н з ймовірністью q=1-p. Нехай - число успіхів при n випробуваннях. Тоді Р{ }=1.

Це випливає з того, що = , де k- послідовність незалежних випадкових величин введених при доведенні теореми Бернуллі.

Теорема 2. Нехай - послідовність незалежних одинаково розподілених величин з скінченим математичним сподіванням М =а. Тоді

3.3 Центральна гранична теорема.

Теорема. Нехай 1, 2 ,…, n,…- послідовність незалежних випадкових величин з скінченною дисперсією ( і

.

Тоді при n для довільного x

Це один з самих видатних результатів теорії ймовірностей: при широких припущеннях відносно суми великої кількості незалежних малих випадкових доданків має місце розподіл, який близький до нормального ( гаусівського).

Наслідок. Інтегральна гранична теорема Муавра- Лапласа.

Проводяться незалежні випробовування. При кожному випробовуванні з’являється успіх з ймовірністю р ( 0 або невдача з ймовірністю q. Нехай число успіхів при n- випробуваннях. Тоді при а

Для доведення достатньо ввести випадкові величиниЗадача 1. Ймовірність влучення мішені при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах в мішень буде влучено рівно 75 разів. (Скористатися локальною теоремою Лапласа при m=75, , ).

Задача 2. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює . Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробовувань.