Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних.. Необхідні і достатні умови. Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку і в обмеженій замкнутій області

Приклад. Знайти екстремум функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо критичні точки функції :

Функція має дві критичні точки: .

Знаходимо частинні похідні другого порядку:

Дослідимо характер першої критичної точки :

Отже, в точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

Дослідимо характер другої точки :

Оскільки, то в точці функція має мінімум.

6.15.3. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції

1. Нехай на відрізку задана неперервна функція , яка за теоремою Вейерштрасса на даному відрізку сягає свого найбільшого і свого найменшого значення. Проте теорема Вейерштрасса не дає способу знаходження тих точок відрізка , в яких функція дорівнює своєму найбільшому (найменшому) значенню. Теорема тільки стверджує, що такі точки існують. Це можуть бути як внутрішні точки відрізка, так і його кінці.Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку , треба знайти максимуми і мінімуми і порівняти їх із значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

Р о з в ’я з о к. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього обчислимо похідну Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння

дістаємо стаціонарні точки.

Точок, в яких похідна не існує, немає.

Обчислимо значення функції в точках (ці точки належать відрізку ), а також на кінцях відрізка, тобто в точках. Маємо

Отже, найбільше значення становить , найменше -

Щоб знайти найбільше (найменше) значення функції замкненій області , потрібно знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти їх з найбільшими (найменшими) значеннями функції на границях області: найбільше і найменше із цих значень і буде найбільшим і найменшим значенням функції в даній області.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції в трикутнику (рис. 6.14), обмеженому прямими.

Р о з в ’ я з о к.

Знайдемо критичні точки функції:

Оскільки в даній області, то

У критичній точці функція приймає значення