Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних.. Необхідні і достатні умови. Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку і в обмеженій замкнутій області

1. Дослідити на екстремум функцію .

Р о з в ’ я з о к. 1). Знаходимо

Розв’язуємо рівняння:

Звідси визначаємо стаціонарні точки

2). Точок, в яких похідна не існує, немає. Отже, стаціонарні точки є єдиними критичними точками заданої функції.

3). Розглянемо інтервали

Для визначення знака похідної обчислимо останню в довільних точках, які належать даним інтервалам. Візьмемо, наприклад, такі точки: .

Отже, при переході через точку похідна змінює знак з “+” на “-” ; у цій точці функція має екстремум який дорівнює при переході через точку похідна змінює знак “-” на “+”; у цій точці функція має мінімум, який дорівнює ; при переході через критичну точку похідна знак не змінює; точка не є екстремальною для заданої функції

Теорема. Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку

мінімуму; якщо , - точкою максимуму функції .

Друге правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба знайти:

1) стаціонарні точки заданої функції

2) похідну другого порядку в стаціонарній точці.

3) якщо то в цій точці функція має максимум, якщо мінімум.

Приклад. Користуючись другим правилом, дослідити функцію на екстремум.

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідну . Прирівнюємо її до нуля і розв’язуємо рівняння

Звідси дістаємо такі стаціонарні точки: .

Знаходимо похідні другого порядку: . Підставляємо у вираз для знайдені значення і :

Отже, є точкою максимуму, а - точкою мінімуму функції, причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють.

Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

Теорема. Нехай в околі критичної точки функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Розглянемо вираз

1) якщо , то в точці функція має екстремум; максимум, якщо, і мінімум, якщо,

2) якщо , то в точці функція екстремуму не має.

У випадку , коли , екстремум в точці може бути, може і не бути.