Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої

Установимо напрямок вектора . Зрозуміло, що вектор - колінеарний з вектором і при направлений в той самий бік, що і вектор , а при - в протилежний бік. У першому випадку , в другому - . Отже, вектор завжди направлений по січній годографа функції в бік зростання параметра .

При сусідня точка кривої намагається співпасти з точкою і січна годографа в границі переходить в дотичну до нього. Тому вектор направлений по дотичній до годографа в бік зростання параметра .

Якщо використати розклад вектора за ортами, то вектор можна записати у вигляді

Звідси, поділивши на і перейшовши до границі при , знаходимо для похідної вектора такий вираз:

Із означення похідної від векторної функції (7.23) можна вивести, що правила диференціального числення відносно диференціювання суми і добутку залишаються в силі як для сум векторних функцій, так і для добутків будь-якого вигляду. Мають місце такі формули:

Тут - векторні функції; - скалярна функція аргументу.

Зауваження. Розглянемо випадок змінного вектора, довжина якого стала.

Остання рівність дозволяє записати:

де - скалярний квадрат вектора.

Диференціюванням знаходимо

Отже, вектор в цьому випадку перпендикулярний до вектора.

Зокрема, якщо , то.

3. Кривизна просторової кривої

Зміна напрямку одиничного вектора дотичної до просторової кривої (вектора ) пов’язана із зміною напрямку дотичної до просторової кривої і характеризує кривизну кривої. За міру кривизни приймемо границю відношення кута суміжності (кута повороту дотичної ) до довжини відповідної дуги, коли остання прямує до нуля:

де - кривизна, - кут суміжності, - довжина дуги. З іншого боку, оскільки - одиничний вектор, то перпендикулярний до нього. Модуль вектора пов’язаний з обертанням вектора формулою

Величина, обернена до кривизни, називається радіусом кривизни лінії в даній точці і позначається через тобто

Вектор назвемо вектором кривизни просторової кривої, його напрямок, перпендикулярний до напрямку дотичної, є напрямком нормалі до просторової кривої. Але просторова крива має в кожній точці не одну, а нескінченну множину нормалей, які всі лежать в площині, що проходить через дану точку кривої і перпендикулярну до дотичної до кривої. Цю площину назвемо нормальною площиною просторової кривої. Та із нормалей кривої, по якій напрямлений вектор кривизни кривої в даній точці, називається головною нормаллю просторової кривої. Отже, введений нами вектор - одиничний вектор головної нормалі.

Побудуємо в даній точці просторової кривої третій одиничний вектор, який дорівнює векторному добутку векторів та :

Вектор , так само як і, лежить в нормальній площині; його напрямок називають напрямком бінормалі просторової кривої в даній точці.

Три вектори та складають трійку взаємно перпендикулярних одиничних векторів, напрямок яких пов’язаний з вибором точки на просторовій кривій і змінюється від точки до точки. Ці три вектори утворюють тригранник, який називається супровідним тригранником (тригранник Френе) просторової кривих (рис. 7.8). Взаємна орієнтація векторів та - така сама, що і в координатних векторів .