Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої

Диференціюємо по рівності

Приклади.

1. Знайти диференціал дуги циклоїди

Р о з в ’ я з о к. .

2. Знайти диференціал дуги кардіоїди.

Р о з в ’ я з о к.

Диференціал дуги просторової кривої, заданої параметричними рівняннями , можна знайти аналогічно.

Відміна від попереднього полягає лише в тому, що довжина хорди, яка з’єднує точки просторової кривої і визначається за формулою

Формула диференціала дуги просторової кривої

Приклад. Знайти диференціал дуги гвинтової лінії:

Р о з в ’ я з о к. .

Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду :

Диференціал дуги плоскої кривої має такий геометричний зміст: він дорівнює довжині відрізка дотичної до кривої .

2.Кривизна плоскої кривої

Вивчаючи ту чи іншу криву, бачимо, що в різних точках вона має неоднаковий ступінь викривлення. Так, парабола поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж коло великого радіуса.

Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною.

Візьмемо на кривій дві точки і (рис. 7.6) і в цих точках проведемо дотичні прямі. Нехай дотична утворює з додатним напрямом осі кут , а пряма - кут .

Довжину дуги позначимо . Модуль відношення , де - величина кута в радіанах, на який повертається дотична, коли точка переміститься вздовж кривої в точку , називається середньою кривизною дуги .

Означення. Границя (якщо вона існує) середньої кривизни дуги даної кривої, коли точка наближається вздовж кривої до точки , називається кривизною кривої в точці і позначається

Виведемо формулу для обчислення кривизни. Нехай крива задана в декартовій системі координат рівнянням

де функція на відрізку має похідні до другого порядку включно.

Скористаємося формулою . Очевидно, що коли точка, то довжина дуги . Тому формулу можна