Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.

Нехай Тоді

Приклади.

10.

20.

30.

40.

50.

2. Розклад многочлена на множники

Многочленом (поліномом) степеня називається функція

де ціле число. називають ще цілою раціональною функцією від Коефіцієнти дійсні або комплексні числа, незалежна змінна може приймати як дійсні, так і комплексні значення. Коренем многочлена називається таке значення змінної, при якому многочлен перетворюється в нуль.

Теорема 1 (теорема Безу). При діленні многочлена на залишок дорівнює

Д о в е д е н н я. При діленні на часткою буде многочлен степеня на одиницю нижчого від а залишком буде постійне число Отже. Ми можемо записати рівність

Ця рівність справедлива при всіх значеннях що відмінні від

Якщо то границя правої частини буде дорівнювати а лівої - Отже,

Наслідок. Якщо корінь многочлена, тобто то ділиться без залишку на а, значить, його можна представити у вигляді добутку

де многочлен.

Якщо рівняння має вигляд де многочлен степеня то таке рівняння називається алгебраїчним рівнянням степеня Із визначення випливає, що корені алгебраїчного рівняння такі ж, як і корені многочлена

Природно виникає питання : чи всяке рівняння має корені?

Не всяке рівняння має корені. Але у випадку алгебраїчного рівняння відповідь на це питання позитивна.

Теорема 2 (основна теорема алгебри). Всяка ціла раціональна функція має по крайній мірі один корінь, дійсний або комплексний.

Ця теорема доводиться у вищій алгебрі.

Нехай многочлен має деякий корінь Тоді із наслідка теореми Безу маємо Із основної теореми алгебри випливає, що також має корінь, наприклад, Тоді т.д.

Продовжуючи цей процес виділення лінійних множників, дійдемо до многочлена нульового степеня, тобто деякого фіксованого числа. Це число, очевидно, дорівнює так що будемо мати рівність