Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.

Отже, в результаті ділення двох комплексних чисел одержуємо комплексне число.

г). Піднесення комплексного числа до цілого додаткового степеня здійснюється так само, як піднесення двочлена до степеня з наступною зміною степенів за формулами, де ціле додатне число.

д). Добування кореня порівняно легко можна здійснити лише для квадратного кореня. Для коренів вищих степенів здійснить це важко, якщо обмежуватися комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

Приклад. Добути квадратний корінь із числа .

Р о з в ’ я з о к. Нехай

Тоді , де і – дійсні числа. Звідси

Розв’язавши цю систему рівнянь , одержимо

Дії додавання і множення комплексних чисел володіють переставним (комутативним), сполучним (асоціативним) і розподільчим (дистрибутивним) законами.

Приклади.

10.

20.

30.

40.

50.

1.2. Тригонометрична форма комплексного числа

Сполучимо початок координат з точкою . Довжина цього відрізка називається модулем комплексного числа, а кут , що утворює цей відрізок з додатним напрямом осі називається аргументом комплексного числа (рис.8.1). Очевидно, що аргумент дійсного числа дорівнює , а уявного -

Запис комплексного числа у вигляді називають алгебраїчним, а у вигляді (8.2) - тригонометричним.

Приклади. Записати в тригонометричній формі комплексні числа:

Маємо:

Розглянемо дії з комплексними числами, заданими в тригонометричній формі.

а). Дії додавання і віднімання комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, можуть бути виконані так само, як і в алгебраїчній формі.

б).Множення.

Отже, в разі множення комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, їх модулі перемножуються, аргументи додаються.