Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки
де - многочлен з невизначеними коефіцієнтами того самого степеня, що й многочлен - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють . Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то приймаємо r=0.
ІІ. Нехай права частина в рівнянні (5) має вигляд
,
де Pn(x) – многочлен степеня п, Rm(x) - многочлен степеня m; - дійсні числа. (Функція (6) є окремим випадком функції (98) і утворюється з неї при ).
Частинний розв’язок рівняння (5) треба шукати у вигляді
,
де Rs(x) ma Ls(x) – многочлени степеня s з невизначеними коефіцієнтами; s – найвищій степінь многочленів Rs(x) ma Ls(x), тобто s=max(n;m); r – число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють
зокрема, якщо права частина рівняння (5) має вигляд
де А, В – невідомі дійсні числа, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді
де а , b – невідомі коефіцієнти; r –число коренів характеристичного рівняння (7), які дорівнюють .
Приклад.
Розв’язати рівняння
Характеристичне рівняння має корені тому загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд . Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду , причому , то за формулою (6) частинний розв’язок шукаємо у вигляді тобто , де А і В – невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні і підставивши їх у рівняння дістанемо
-2В+А+Вх=2х+3.
Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістанемо систему рівнянь
звідки В=2, А=7. Отже, частинний розв’язок даного рівняння має вигляд , тому
шуканий загальний розв’язок.
Лінійні диференціальні рівняння п-го порядку.
Застосовуємо методи знаходження розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків. Не зупиняючись детально на теорії, сформулюємо необхідні твердження і розглянемо приклади.
Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння п-го порядку
де а1, а2,...,ап – сталі дійсні числа.
Характеристичним для рівняння (12) називається алгебраїчне рівняння п-го степеня виду
де k – невідоме дійсне чи комплексне число.