Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки

План:

1.Задача Коші

2.Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

1. Задача Коші.

Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами. Для рівняння (1) ця задача ставиться так: серед усіх розв’язків рівняння (1) знайти такий розв’язок який при

задовольняє такі умови:

де - довільні наперед задані дійсні числа.

Умови називають початковими умовами рівняння. Зокрема, рівняння другого порядку

початкові умови при х=х0 мають вигляд

Існування і єдність розв’язку задачі Коші визначають такою теоремою Коші.

Теорема 2. Якщо функція f(x,y,y’,…,y(n-1)) і її похідні по аргументам у, у’,...,у(п-1) то для всякої точки (х0, у0, у’0, ..., ) існує єдиний розв’язок у=у(х) рівняння (1), який задовольняє початкові умови (2).

Приймемо дану теорему без доведення. Слід звернути увагу на те , що в цій теоремі мова йде про єдність розв’язку в (п+1) вимірному просторі: інакше кажучи, єдність розв’язку рівняння (1) з умовами (2) на відміну від диференціального рівняння першого порядку не означає , що через задану точку (х0; у0) проходить лише одна інтегральна крива рівняння (1). Так, для рівняння (3) єдність розв’язку з умовами (4) означає, що через точку (х0; у0) проходить лише інтегральна крива рівняння (3) з кутовим коефіцієнтом дотичної в цій точці, який дорівнює (мал..) . Проте через цю точку можуть проходити й інші інтегральні криві, але з іншим нахилом дотичної.

Нарешті, зупинимось на поняттях загального та частинного розв’язку рівняння (1). Як ми вже бачили, загальний розв’язок рівняння першого порядку знаходиться за допомогою операції інтегрування і містить одну довільну сталу. В загальному випадку розв’язок диференціального рівняння п-го порядку знаходиться в результаті п послідовних інтегрувань, тому загальний розв’язок рівняння (1) містить п довільних сталих, тобто має вигляд

Якщо загальний розв’язок знаходиться в неявній формі:

то його називають загальним інтегралом рівняння (1).

Частинний розв’язок або частинний інтервал знаходять із загального , якщо у співвідношенні (5) або (6) кожній довільній сталій С1, С2, ..., Сп надати конкретного числового значення. З погляду геометрії загальним розв’язком рівняння (1) є п-параметрична сім’я інтегральних кривих, залежних від п параметрів С1, С2, ..., Сп, а частинний розв’язок - окрема крива з цієї сім’ї.

Зауважимо, що не кожний розв’язок рівняння (1), який містить п довільних сталих, є загальним розв’язком. Розв’язок (5) диференціального рівняння (1), який містить п довільних сталих, називається загальним розв’язком , якщо можна знайти такі єдині сталі С1=С10, С2=С20,..., Сп=Сп0, що частинний розв’язок задовольняє початкові умови (54).

Таким чином, розв’язати (проінтегрувати ) диференціальне рівняння п-го порядку – це означає: 1). Знайти його загальний розв’язок ; 2). Із загального розв’язку виділити частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови, якщо такі умови задані.