Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки

2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

де p, q –дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді

де k – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (2) в рівняння (1) дістанемо

Отже, якщо k буде коренем рівняння (3), то функція (2) буде розв’язком рівняння (1). Квадратне рівняння (3) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (1).

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2 . Можливі три випадки:

І. k1 і k2 – дійсні і різні числа ( );

ІІ k1 і k2 – комплексні числа ( ;

ІІІ. k1 і k2 – дійсні і рівні числа ( k1=k2).

Розглянемо кожен випадок окремо.

І. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв’язками рівняння (1)

Ці розв’язки лінійно незалежні, тому що при

Згідно з теоремою 4 загальний розв’язок рівняння (1) знаходять за формулою

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

Підставивши значення у формулу (2), знайдемо розв’язки

За формулою Ейлера

Зауважимо, що коли функція є розв’язком рівняння (1), то розв’язками будуть також функції u(x) та v(x). Дійсно, підставивши функцію z(x) в рівняння (1), дістанемо:

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає, що функції u та v – розв’язки рівняння (1). Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння (1) є функції

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

Тому загальний розв’язок рівняння (1) запишеться у вигляді

ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні . За формулою (2) дістанемо один з розв’язків:

Другий розв’язок шукатимемо у вигляді де u – невідома функція від х. Знайшовши і та підставивши їх у рівняння (1), дістанемоОскільки k – корінь рівняння (3), то і за теоремою Вієта , тому звідки - довільні сталі. Поклавши С1=1, С2=0 (нас цікавить який-небудь розв’язок , знайдемо другий частинний розв’язок рівняння (1):