Метод зведення визначника до трикутного вигляду

Далі аналогічно помножуємо перший стовпчик визначника на x. Визначник помножається на x ще один раз

Одержуємо визначник, який співпадає з визначником з попереднього прикладу. У цьому визначнику від всіх рядків, починаючи з другого, віднімаємо перший рядок:

Далі до першого стовпчика додамо суму всіх інших стовпчиків

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому

= (n-1)x(-x)n-1= (-1)n-1(n-1)xn = (-1)n-1(n-1)xn-2.

Приклад 8. Обчислити визначникРозв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (на головній діагоналі n елементів). Будемо перетворювати визначник таким чином, щоб одержати визначник, всі елементи головної діагоналі якого дорівнюють 1. Для цього з другого стовпчика визначника винесемо множник – число 2, з третього – множник 3, і нарешті з останнього – множник n. Одержуємо

!

В одержаному визначнику всі елементи першого стовпчика, починаючи з другого, співпадають з відповідними елементами головної діагоналі. Тому, віднімаючи від першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків, одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі

Таким чином,

Приклад 9. Обчислити визначник

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n (число елементів на головної діагоналі дорівнює n). У цьому визначнику можна відняти перший рядок від всіх інших рядків.

Звертаємо увагу на те, що всі елементи першого стовпчика одержаного визначника, починаючи з 2-го дорівнюють –1. Тому перетворюємо визначник так, щоб діагональні елементи, починаючи з 2-го, були рівними 1. Для цього з другого стовпчика виносимо множник – число 2, з третього – число 3, і нарешті з n-го – число n:

В одержаному визначнику до першого стовпчика додаємо суму інших стовпчиків:

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому

= n!(1+x+ ).

Приклад 10. Обчислити визначник

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (число елементів на побічній діагоналі дорівнює n). Віднімемо перший рядок від всіх інших рядків

У цьому визначнику всі елементи n-го стовпчика, починаючи з другого, дорівнює x-a1. Будемо перетворювати визначник так, щоб всі елементи побічної діагоналі, починаючи з другого, були рівними 1. Для цього з першого стовпчика винесемо множник (an-x), з другого - (an-1-x), нарешті з (n-1)-го – множник (a2-x).

= (an-x) (an-1-x)... (a2-x) .

Далі з останнього стовпчика визначника віднімемо суму всіх інших стовпчиків, помножених на (x-a1). Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі