Метод зведення визначника до трикутного вигляду

Метод зведення визначника до трикутного вигляду

Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку елементів його головної діагоналі.

= a11a22…ann

Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник складається лише з одного добутку елементів побічної діагоналі. Знак при цьому добутку визначається як , де n – порядок визначника.

= a1na2,n-1…an1

Метод зведення визначника до трикутного вигляду полягає в тому, що, користуючись властивостями визначників, даний визначник перетворюється так, щоб одержати визначник трикутного вигляду відносно головної або побічної діагоналі, і далі одержується результат.

Нехай задано визначник n–го порядку загального вигляду.

Будемо зводити цей визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Якщо всі елементи першого стовпчика дорівнюють нулю, то  = 0. В супротивному випадку будемо вважати, що a11 0 (інакше знаходимо в першому стовпчику ненульовий елемент і рядок, в якому він знаходиться, додамо до першого рядка). Будемо перетворювати визначник  так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи першого стовпчика, крім першого, дорівнюють 0. Для цього віднімемо від другого рядка перший, помножений на число . Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімемо перший, помножений на число Згідно з властивостями визначників, ці перетворення не змінюють величини визначника . Одержуємо визначник

Якщо в цьому визначнику всі елементи b22, b32,…,bn2 дорівнюють 0, то = 0. Дійсно, якщо розкласти в такому випадку визначник  за елементами першого стовпчика, одержуємо , де A11 – алгебраїчне доповнення елемента a11; A11 = (-1)1+1M11 де M11 – доповнюючий мінор елемента a11; M11 – визначник порядку n-1, перший стовпчик якого нульовий, тому M11 = 0, звідки A11 = 0 і = 0. Тому далі будемо вважати, що серед елементів b22, b32,…,bn2 є ненульові, а тоді можна вважати b22 0 (в супротивному випадку можна до другого рядка додати деякий рядок, що стоїть після нього і другий елемент якого не дорівнює нулю). Далі перетворюємо визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи другого стовпчика, починаючи з третього, дорівнюють нулю. Для цього спочатку від третього рядка віднімаємо другий, помножений на число . Далі, аналогічно, від четвертого рядка віднімемо другий, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімаємо другий, помножений на . Всі ці перетворення не змінюють величини визначника. В результаті одержуємо визначник

Продовжуючи цей процес одержання нулів нижче головної діагоналі, через скінчене число кроків або переконаємось в тому, що 0, або зведемо визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. В цьому випадку

причому x11= a11 0, x22= b22 0, x33= c33 0,…, xnn 0. Отже,

= x11x22x33...xnn

Методом зведення до трикутного вигляду можна обчислювати визначники малих порядків.

Приклад 1. Обчислити визначник

Розв’язування. Перший стовпчик визначника ненульовий, і в ньому на першому місці стоїть ненульовий елемент. Тому можна в першому стовпчику одержати нулі на всіх місцях, починаючи з другого. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

Далі від третього рядка віднімаємо перший, помножений на 3: