Метод зведення визначника до трикутного вигляду
В останньому стовпчику залишається лише один ненульовий елемент. Далі аналогічно від (n-1)-го стовпчика віднімемо (n-2)-й, від (n-2)-го (n-3)-й і, нарешті, від 2-го стовпчика віднімемо 1-й. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі
Порядок визначника дорівнює n, а тому
Приклад 5. Обчислити визначник
Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку елементами є степеня змінної x від 0 до n). Будемо зводити визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Неважко переконатись в тому, що елементи першого рядка, починаючи з другого, можна одержати помноженням відповідних елементів другого рядка на x. Тому, віднімаючи від першого рядка другий рядок, помножений на x, одержимо на місці цих елементів нулі. Тобто,
Далі, аналогічно, від другого рядка віднімемо 3-й, помножений на x, від 3-го рядка віднімемо 4-й, помножений на x, і нарешті від (n-1)–го рядка віднімемо n–й, помножений на x:
Всі елементи визначника, що знаходяться вище головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі і
= (1- a11x)(1-a22x)(1-a33x)…(1-annx)1
Приклад 6. Обчислити визначник порядку n
Розв’язування. У визначниках такого вигляду зручно на першому кроці від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо визначник
Далі визначник неважко звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього можна, наприклад, додати до першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків. Згідно з властивостями визначника, його величина при цьому не змінюється. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.
Порядок визначника дорівнює n, а тому
= (n-1)x(-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.
Визначник можна зводити до трикутного вигляду різними способами. Наприклад, для даного визначника можна запропонувати ще один спосіб зведення. Неважко бачити, що у початковому визначнику сума елементів кожного рядка і кожного стовпчика однакова. Тому додамо до першого рядка початкового визначника суму всіх інших рядків. При цьому величина визначника не змінюється
Перший рядок визначника складається з однакових елементів, а тому з цього рядка можна винести множник за знак визначника
Далі одержуємо нулі нижче головної діагоналі. Для цього достатньо відняти від всіх рядків визначника, починаючи з другого, перший рядок, помножений на x.
Одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.
= (n-1)x(-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.
Приклад 7. Обчислити визначник порядку n
Розв’язування. Помножимо перший рядок визначника на x. З властивостей визначників випливає, що при цьому визначник помножається на x, тобто