Математичне моделювання та диференціальні рівняння

Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:

Визначимо

так як, то визначимо :

Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.

Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела:

Тут – електрична і магнітна сталі, – об’ємна густина заряду, – вектор густини струму, - знак транспонування.

А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем.

1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях.

Біологія. Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу . Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцією площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і вертикаллю листка. Маємо модель:

– const, – коефіцієнт пропорційності; розв’язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:

Математика. Обчислити невласний інтеграл

залежний від параметра.

Знайдемо похідну:

Отримали диференціальне рівняння

При цьому відомо:

Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:

1.7. Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними сімействами кривих.

Припустимо, що задано однопараметричне сімейство кривих:

Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо:

Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.

Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих:

то до (1.33) додаються дані співвідношення:

з(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких , вилучаються сталі і отримане таким чином співвідношення між

і буде шуканим диференціальним рівняння -го порядку.