Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Коефіцієнти знаходяться шляхом підстановки (5.38) в (5.37) і прирівнювання коефіцієнтів при однакових степенях.

Переконаємося, що шукані коефіцієнти визначаються однозначно. Підставимо (5.38) в (5.37), отримаємо

Використовуючи вищенаведені формули, знищуємо

на основі них маємо

Скорочуємо на і прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступінях

Так як , то з (5.40) послідовно визначаються всі коефіцієнти .

Випадок 2. Параметр являється -кратним коренем характеристичного рівняння , тобто

В цьому віпадку частинний розв’язок не можна побудувати в вигляді (5.38), так як . Його шукаємо в вигляді

де – поліном вигляду (5.39).

Координати полінома визначаються шляхом підстановки (5.42) в (5.37).

звідки

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

З (5.53) послідовно однозначно визначаються , так як.Пипустимо, що права частина Д.Р. (5.26) має вигляд

де, – відомі поліноми степені . (хочаб один має степінь).

Використовуючи формули Ейлера, обчислимо

і перепишемо функцію таким чином

де і – поліноми степені , тобто є сума двох функцій, які розглянуті вище.Випадок 1. Число не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок шукаємо в вигляді

де і – поліноми -ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

Випадок 2. Якщо – -кратний корінь характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо в вигляді

Приводячи (5.45) і (5.46) до дійсного вигляду, сформулюємо слідуюче правило знаходження частинного розв’язку для вигладу (5.44).

Випадок 1. Якщо не являється коренем характеристичного рівняння,то

Випадок 2. Якщо – -кратний корінь характеристичного рівняння то

Тут і – поліноми -ої степені з невизначеними коефіцієнтами.

Приклад 5.12.

Знайти загальний розв’язок Д.Р. методом невизначених коефіцієнтів