Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Приклад 5.7.

Приклад 5.8.

в) Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння.

Припустимо, що -кратний корінь характеристичного рівяння (5.30), так що

Щоб знайти розв’язки, які відповідають характеристичному числу , продиференціюємо тотожність

раз ро, використовуючи при цьому формулу

Для знаходження похідної від добутку функції використовуємо формулу Лейбніца.

Використовуючи (5.33) запишемо

тобто функції

являються розв’язками Д.Р. (5.27). Ці функції лінійно незалежні на .

Таким чином дійсному кореню кратності відповідає дійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35)

Якщо характеристичне рівняння має комплексні корені кратності , то лінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд

Розв’язки (5.36) лінійно незалежні на інтервалі

Приклад 5.9.

Розв’язати Д.Р.

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

Тоді

загальний розв’язок.

5.3. Знаходження частинного розв’язку лінійно незалежного Д.Р. методом невизначених коефіцієнтів.

Для деяких частинних випадків функції можна знайти частинні розв’язкі Д.Р. (5.26) без квадратур.

I)Розглянемо Д.Р. з правою частиною

де поліном з дійсними чи комплексними коефіцієнтами, -постійне дійсне чи комплексне число.

Розглянемо два випадки.

Випадок 1. Число не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний розв’язок Д.Р. (5.37) шукають в вигляді

поліном -ої степені з невизначеними коефіцієнтами. Тобто в цьому випадку частинний розв’язок має туже аналітичну структуру, що і права частина Д.Р. (5.37)