Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

1.Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.

Розглянемо лінійне Д.Р. -го порядку зі сталими коефіцієнтами

де – постійні дійсні числа, – неперервна функція на .

Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.

Для побудови загального розв’язку Д.Р. (5.27) необхідно знайти хоч одну фундаментальну систему розв’язків. Виявляється, що фундаментальну систему розв’язків Д.Р. (5.27) можна побудувати з едементарних функцій. Наприклад, при Д.Р. , де – дійсне число, частинним розв’язком буде функйія .

Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в вигляді

де – деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні). Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо

З (5.29) випливає, що являється розв'язком Д.Р. (5.27) тоді і тільки тоді, коли , тобто

Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені характеристичимичислами Д.Р. (5.27).

Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.

а) Корені характеристичного рівняння дійсні і різні.

Тоді дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формулє

Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно

так як останній визначник є визначник Вандермонда, який не дорівнює нулю, коли всі числа - різні.

В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд

б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є комплексні.

Нехай – пара комплексноспряжених коренів. Два дійсних, лінійно не залежних розв’язків будуються таким чином: кореню відповідає комплексний розв’язок . Згідно доведеному вище, функції , також являються розв’язками Д.Р. (5.27), які являються незалежними в інтервалі . Аналогічно кореню відповідають два дійсних, лінійно незалежних розв’язки , . Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків. Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних частинних розв’язків.

Таким чином, кожній парі комплексно спряжених коренів відповідає два дійсних лінійно незалежних розв’язків видУ, які разом з розв’язком ( – дійсні числа) утворюють фундаментальну систему розв’язків на інтервалі .

Приклад 5.6.

Знайти загальні розв’язки

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

загальний розв’язок.