Оцінювання в рівняннях еліптичного типу

Покажемо, що , тобто що .

Зауважимо, що з теореми 1 випливає, що, де визначається з розв'язку системи рівнянь (13) при . Тому досить показати, що слабко збігається до .

Позначимо через вектор з компонентами.

Зауважимо далі, що

де - розв'язок першого з рівнянь системи (13) при. Звідси одержимо, що

а, отже, вектор обмежений.

Покажемо тепер, що з послідовності можна виділити слабко збіжну в просторі підпослідовність:

Звідси одержимо, що .

Нехай тепер збігається слабко до функції у просторі . Із другого рівняння системи (4.13) одержимо, що слабко збігається до функції у просторі , а оскільки простір цілком неперервно вкладається у простір , то сильно збігається в до .

Покажемо, що . Оскільки , то . Отже, якщо перейти до границі у співвідношеннях

отримаєм, що є розв'язками рівнянь

що в силу означення узагальненого розв'язку еквівалентне системі рівнянь (13) при , і тому

що і потрібно було показати.

Наведем необхідні умови для екстремальної точки .

Теорема 3. Нехай - опукла множина. Тоді має місце співвідношенняде визначається з розв'язку системи рівнянь (13) при .

Доведення. Оскільки

Звідси, переходячи до границі при одержимо, що

де - диференціал Гато функціоналу . Знайдемо вигляд цього диференціалу. За означенням,

Позначимо через вектор . З рівнянь (13) випливає, що знаходиться з наступної системи рівнянь

Перетворимо далі вираз для . Із системи рівнянь (13) отримаєм

Змінюючи порядок інтегрування, отримаємо, що

звідки

Отже, отримали потрібну умову.

Наслідок. Нехай майже скрізь, де - опукла обмежена замкнена множина у просторі . Тоді можна показати таким же чином, як і в §3, що умову (15) можна записати у вигляді