Оцінювання в рівняннях еліптичного типу

Використовуючи друге рівняння системи (4.7), одержимо

Враховуючи ці співвідношення, будемо мати, що

Покажемо далі, що. Використовуючи означення узагальненого розв'язку, а також друге рівняння системи (8), отримаємо, що

З цих співвідношень одержимо потрібну рівність, що і завершує доведення теореми.

Зауваження 1. Система рівнянь (7) у просторі має єдиний розв'язок. Це випливає з того факту, що якщо ввести функціонал

де є узагальненим розв'язком рівняння

то система рівнянь (7) є системою рівнянь Ейлера для функціоналу , який має єдину точку мінімуму, рівну .

Наслідок 1. Функція , яка визначається із системи рівнянь (7), є оптимальною лінійною середньоквадратичною оцінкою розв'язку задачі (4.2) за спостереженням за вектором вигляду (1), і при цьому похибка оцінювання дорівнює

Нехай простір скінченновимірний, тобто , де

де - відомі функції, - некорельовані випадкові величини.

Покажемо в цьому випадку, що справедлива

Твердження 1. Мають місце рівності

де функції знаходяться з рівнянь

а числа , є розв'язками системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Доведення. Запишемо в нашому випадку системи рівнянь (7), (8)

Позначимо через і величини .

З систем рівнянь (13), (14) отримаємо, що

Враховуючи далі вигляд і , одержимо означення цих чисел - систему лінійних алгебраїчних виразів.

Покажемо далі, що матриця з елементами , невід'ємно визначена:

Отже, матриця додатно визначена, а тому система рівнянь для має єдиний розв'язок. л

Припустимо далі, що вектор-функція належить обмеженій слабко замкненій множині простору . Розглянемо задачу про вибір вектора , який дає найменшу похибку оцінювання лінійного функціоналу , тобто задачу

Покажемо, що має місце

Теорема 2. Множина непорожня.

Доведення. Нехай - мінімізуюча послідовність, тобто . З послідовності виділимо слабко збіжну підпослідовність, для якої залишимо минулі позначення. Оскільки слабко замкнена, то границя цієї підпослідовності буде належати множині .