Оцінювання в рівняннях еліптичного типу

Припустимо, що спостерігається значення випадкової величини з гільбертового простору , яка має вигляд

Тут - випадкова величина з простору з кореляційним оператором і нульвим середнім, L - узагальнений розв'язок лінійного стохастичного рівняння

де - випадкова величина з гільбертового простору з кореляційним оператором і нульовим середнім, L , - обмежена область простору з кусково-гладкою границею ,

і на коефіцієнти накладені ті ж обмеження, що і в §3.

Будемо шукати оцінку лінійного функціоналу

Зауважимо, що оскільки , де є розв'язком рівняння

а літерою позначено середнє значення, то при відшуканні оптимальних оцінок з умови

ми можемо, не обмежуючи загальності, вважати, що , і, отже, .

Припустимо, що в оператора існує обмежений обернений, не корельована з . Покажемо тоді, що має місце

Теорема 1. Оптимальна оцінка функціоналу зображується у вигляді

При цьому похибка оцінювання дорівнює

Тут , функції знаходяться з систем рівнянь

- канонічні ізоморфізми просторів і на спряжені.

Доведення. Покажемо спочатку, що має місце

Лема. Задача оптимального оцінювання еквівалентна задачі оптимального керування рівнянням

з критерієм якості вигляду

і при цьому

Доведення леми. Зауважимо, що

що і треба було довести.

Доведення теореми. Користуючись результатами § 3, одержимо, що існує єдиний розв'язок задачі оптимального керування (9), (10), тобто існує єдиний вектор , який має вигляд , де функція визначається із системи рівнянь (8), і при цьому .

Покажемо тепер, що справедлива рівність

де знаходиться з розв'язку системи рівнянь (7). З цією метою домножимо перше з рівнянь системи (7) на функцію і проінтегруємо по області. Тоді отримаємо, що

З другого рівняння системи