Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)

б). Знаходимо

Записуємо ряд:

Необхідна ознака збіжності виконується, бо

Проте зробити висновок про збіжність ряду в даному випадку неможливо. Для встановлення збіжності ряду треба перевірити чи виконуються достатні умови збіжності.

Приклад 10. Дослідимо на збіжність ряд

Розв’язання.

Загальний член цього ряду має вигляд

і , тому ряди з загальними членами і збігаються і

А тому, вихідний ряд збігається, як сума збіжних рядів і

Приклад 11. Дослідити на збіжність числовий ряд користуючись означенням збіжності ряду.

Розв’язання .

Для визначення збіжності будь-якого ряду треба знайти часткову зрізану суму Sп , яка в нашому випадку становить

де загальний член часткової суми

Ряд збігається і ця границя дорівнює кінцевій величині. Для відшкодування lim Sп перетворимо загальний член ап , розглядаючи його як раціональний дріб від числа п, а 0, -1, -2, - як корені цілої раціональної функції, що міститься в знаменнику, тобто де А, В, С – визначені коефіцієнти. Маємо

Вираз запишемо у вигляді

Звільнившись від дужок, знаходимо, що доданки, які стоять на парних і непарних місцях, взаємо знищуються. Залишається лише перший доданок і останнє

Переходячи до границі, маємо:

Відповідь: ряд збігається і його сума

Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди:

Розв’язання.

а). Ряд із загальним членом (-1)п-1 не є збіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності ряду.

б). Ряд є збіжним, тому що його п-й залишок при оскільки

Тому при