Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)

Приклад 1.

1). Нехай загальний член ряду. Записати п’ять перших ленів ряду.

Розв’язання.

При п=1 маємо

При п=2 дістаємо Аналогічно

2). Записати можливий загальний член ряду

Розв’язання.

Чисельники дробів утворюють арифметичну прогресію 1,4,7 її п-й член знайдемо за формулою , де Отже,

Знаменники дробів утворюють геометричну прогресію 3, 32, 33, п-й член якої Отже,

Приклад 2. Чи збігаються такі ряди:

Розв’язання .

Оскільки для кожного даного ряду , то ці ряди розбігаються.

Приклад 3. Дослідити на збіжність і знайти суми рядів:

Розв’язання.

а). Оскільки ап можна подати у вигляді то часткову суму Sп ряду можна записати так:

Тоді сума і ряд збігається.

б). У даному випадку

Тоді , ряд має суму , а тому збігається.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

Через те, що суму n перших членів даного ряду можна записати

Після зведення подібних дістанемо

Як бачимо, ряд збіжностей і його сума дорівнює 1.

Приклад 5. Дано числовий ряд Знайти суму Sn – його п членів і суму ряду S.

Розв’язання.