Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та необхідної умови збіжності ряду)

Розкладемо загальний член ряду на суму найпростіших дробів:

Знайдемо часткову суму ряду

Для визначення суми ряду знайдемо границю

Відповідь:

Приклад 6. Дослідити збіжність числового ряду

Розв’язання.

Необхідна умова виконується.

Заданий ряд – геометричний, зі знаменником а значить збігається.

Відповідь: ряд збігається.

Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

Це числовий ряд. Перевіримо, чи виконується необхідна умова збіжності. Для цього запишемо загальний член ряду і знайдемо його границю.

Оскільки , то наслідком з необхідної умови збіжності ряд розбігається.

Відповідь: ряд розбігається.

Приклад 8. Дослідити на збіжність ряд , використовуючи необхідну умову збіжності.

Розв’язування.

Для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності ряду.

Дійсно,

і, значить

Таким чином, даний ряд збігається.

Приклад 9. Дано загальний член ряду:

Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності ряду.

Розв’язання.

а). Знаходимо

Тому, що то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.