Невласні інтеграли. Поняття та різновиди невласних інтегралів

Обчислити невласні інтеграли:

Отже, інтеграл а) збіжний.

б) Якщо 1, то

Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 < < 1 і розбігається при 1.

Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою

Можна довести, що для всіх (0, +∞) і (0, +∞) інтег¬рал (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною.

Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл

Покажемо, що невласний інтеграл (92) при > 0 збігається. Маємо

Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо

Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n — довільне натуральне число таке, що n > — 1, то

в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл части¬нами і враховуючи, що

Отже, інтеграл (92) при > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г( ).

Обчислимо значення Г( ) при а N. Якщо = 1, то

Нехай n + 1 інтегруючи частинами, дістанемо

звідки

Г(n +1) = nГ(n)

З рівностей (93) і (94) випливає, що n N:

Г(n +1) = n!

Таким чином, гамма-функція для цілих значень n N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперерв¬ні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре ви¬вчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].

Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:

де > 0 і 0 < ( ) < 1. Якщо в цій рівності покласти = n і помножити її на n, дістанемо

Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням

Приклади