Невласні інтеграли. Поняття та різновиди невласних інтегралів

Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл .

Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки

то заданий інтеграл збігається.

Слід зауважити, що із збіжності інтеграла не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення.

Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +∞).

Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл

то за теоремою 3 інтеграл збігається.

Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x) = на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Нехай функція f(x) визначена на про¬міжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) → ∞ при х → b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b — ] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

Отже, за означенням

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х = — особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:

Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 7.16).

Нарешті, якщо а та b — особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають

де с — довільна точка інтервалу (а; b).

Приклад