Невласні інтеграли. Поняття та різновиди невласних інтегралів

в)

Отже інтеграл в) розбіжний,

г) Якщо = 1, то

Якщо ≠ 1, то

Отже інтеграл г) є збіжним при > 1 і розбіжним при ≤ 1.

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.

Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то із збіжності інтеграла

випливає збіжність інтеграла

а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо пло¬ща меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграли:

і інтеграл збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.

б) Цей інтеграл розбігається, бо :

і інтеграл розбігається.

Теорема 2. Якщо існує границя

то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одно¬часно розбігаються.

Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0  f(x) ≤ g(х).

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл

Оскільки інтеграл збігається і

то заданий інтеграл також збігається.

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'єм¬них функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.