Поняття функції

Приклади

1. Графіком функції у = 2 n - 3 n N є нескінченна множина ізольованих точок, які лежать на прямій у = 2х — 3.

2. Графіком функції у = |х| є сукупність бісектрис першого і другого коорди¬натних кутів.

3. Графіком функції

що задана різними аналітичними виразами на різних частинах області зміни х, є сукупність параболи і прямої. Стрілка на графіку означає, що точка М (2, 2) не належить прямій.

4. Функція

5. Функція у визначена при х 0 і набуває двох значень:

-1; 1; Х = (- ; 0) U (0; + ); Y = {—1, 1).

Зауважимо, що в прямокутній системі координат Оху функцію задає лише така крива 12, яку кожна пряма, що проходить через точку х X паралельно осі Оу, перетинає лише в одній точ¬ці. Область визначення цієї функції — відрізок [а; b], який є проек¬цією кривої на вісь Ох. Щоб знайти значення функції у0 = f(х0), що відповідає значенню аргументу х0, потрібно через точку х0 [а; b] провести перпендикуляр до осі Ох. Довжина цього перпендикуля¬ра від осі Ох до точки М0 (х0; у0) перетину з кривою, взята з належ¬ним знаком, і є значенням функції в точці х0, тобто у0 = f(х0). Кри¬ва 11 не задає функцію.

Табличний спосіб задання функції у = f(x) полягає в тому, що відповідність між змінними х та у задається у вигляді таблиці.

Табличний спосіб досить часто використовується при проведенні експериментів, коли задають певну сукупність х1, х2, ...,хn значень аргументу і дослідним шляхом знаходять відповідні значення функції: y1, у2, ..., уп.

Якщо функція задана аналітичне, то для неї можна побудувати таблицю, тобто табулювати функцію. Табулюються, як правило, функ¬ції, які виражаються складною формулою, але часто зустрічаються в практиці. Такими є, наприклад, таблиці логарифмів, тригонометричнітаблиці тощо. І тут, як і при графічному заданні функції, виникає обернене запитання: чи завжди можна від табличного задання функ¬ції перейти до аналітичного, тобто чи можна функцію, задану таб¬лицею, задати формулою? Щоб відповісти на нього, зауважимо, що таблиця дає не всі значення функції. Проміжні її значення, які не вхо¬дять у задану таблицю, можна знайти наближено за допомогою так званої операції інтерполювання функції. Тому в загальному випад¬ку знайти точний аналітичний вираз функції за її таблицею неможли¬во. Проте можна побудувати формулу, причому не одну, яка для зна¬чень xі, що є в таблиці, буде давати відповідні значення уі, функції. Такі формули називаються інтерполяційними.

Останнім часом табличний спосіб широко застосовується у зв'язку з використанням електронно-обчислювальних машин (ЕОМ), тому що вихідну інформацію ЕОМ видає у вигляді числових масивів (таб¬лиць). У зв'язну з цим все більше поширюється і стає одним з основних четвертий спосіб задання функції — за допомогою комп'ютерних програм. Як правило, цим способом задаються такі функції, які є розв'язками складних математичних задач. Жодним з поперед¬ніх способів подібні функції задати не можна.

Крім розглянутих існують й інші способи задання функції. Так, функцію можна задати словесним описом залежності між змінними.

Приклади

1. Функцію у задано умовою кожному дійсному числу х ставиться у відповід¬ність найбільше ціле число, яке не перевищує х. Ця функція, визначена на множині дійсних чисел, називається цілою частиною х і позначається у = [А] або у = Е (х) (Е — початкова літера французького слова entier — цілий). Наприклад, [0, 2] = 0, [—2, 5] = —3, [5] = 5 і т. д.