Поняття функції

З означення функції не випливає, що різним значенням аргументу відповідають різні значення функції. Функція може в усій області визначення набувати кількох або навіть одного значення. Зокрема, якщо множина значень функції складається лише з одного числа с, то таку функцію називають сталою і пишуть у = с.

Способи задання функцій

Щоб задати функцію у = f (х), треба вказати її область визначен¬ня X, множину значень Y і правило f, за яким для довільного числа х X можна знайти відповідне йому число у Y.

Основні способи задання функції: аналітичний, графічний і табличний.

При аналітичному способі задання функції відповідність між аргументом і функцією задається формулою (аналітичним виразом), де зазначено, які дії потрібно виконати над значенням аргументу та сталими числами, щоб дістати відповідне значення функції. Якщо при цьому область визначення не вказується, то під останньою розумі¬ють область існування функції — множину всіх дійсних значень аргу¬менту, для яких аналітичний вираз має зміст.Зауваження. Не слід ототожнювати функцію і формулу, за допомогою якої ця функція задана. Однією й тією формулою можна задавати різні функції, і навпаки, одна й та сама функція на різних ділянках її області визначення може задаватись різними формулами. Так, функції у = х3, х І0; 1] і у = х3, х (2; 5) — різні, бо вони мають різні області визначення; функція

визначена на проміжку ( , але для недодатних і додатних значень аргументу її задано різними формулами.

Приклад

Знайти області визначення функції:

д) формула у = n! ставить у відповідність кожному натуральному числу п чис¬ло у = n!. Наприклад, якщо n = 3, то у = 3! = 1 • 2 • 3 = 6, якщо n = 5, то у = 5! = 1  2  3  4  5 = 120. Отже, X = Z0 (вважають, що 0! = 1).

Ці приклади показують, що областю існування функції можуть бути досить різноманітні множини: відрізок, кілька або навіть нескінченна кількість відрізків, дискретна множина точок тощо.

Зазначимо, що задача знаходження множини У значень аналітичне заданої функції набагато складніша і пов'язана з задачею про екстремуми функції (гл. 6, п. 6.3).

При графічному способі задання функції у = f (х) відповідність між змінними х і у задається графіком — множиною точок (х; у) площини, прямокутні координати яких задовольняють рівність у = f(x). Залежно від того, яку задано функцію, графік її може скла¬датись з однієї суцільної лінії, кількох ліній, дискретної множини то¬чок площини тощо.

Графічним способом задання функції широко користуються при дослідженнях, пов'язаних з використанням таких самописних приладів, як барограф (для запису змін атмосферного тиску), осцилограф (для запису змін електричного струму або напруги), електрокардіо¬граф (для запису електричних явищ, пов'язаних з діяльністю серця), термограф (для запису змін температури повітря) тощо. Криві (їх називають відповідно барограма, осцилограма, електрокардіограма, термограма), що їх виписують прилади, задають цілком певну функ¬цію, властивості якої характеризують перебіг того чи іншого процесу.

Графіки функцій можна спостерігати на дисплеях комп'ютерів. У математиці графіками широко користуються для геометричного зображення функцій, навіть тоді, коли ці функції задані аналітичне. Якщо функція у = f (х) задана на деякій множині X формулою, то завжди можна вважати, що їй відповідає певний графік, який визначає цю функцію геометричне. А якщо функція задана довільним графі¬ком, то чи можна її задати деякою формулою? Це дуже складне запи¬тання. Щоб відповісти на нього, потрібно з'ясувати, який зміст має по¬няття формули. Якщо функція у = f (х) задана формулою, то ми по¬ки що вважаємо, що функція у утворюється за допомогою скінченного числа таких операцій над х, як додавання, віднімання, множення, ді¬лення, добування кореня, логарифмування, взяття sin, агсsіn тощо. Математичний аналіз дає змогу значно розширити поняття формули. Зокрема, формулою вважається також і нескінченний ряд, членами якого є ті чи інші функції, тобто допускається нескінченне число опе¬рацій над цими функціями. За допомогою таких формул більшість кривих, що зустрічаються на практиці, можна задати аналітичне (гл. 9)..