Площина

Якщо позначити радіуси-вектори точок M i M0 відповідно через , то рівняння (17) можна записати у вигляді ,звідки ,але Отже, вектори лежать в одній площині, тобто

Вираз (18) є векторною формою рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.

Рівняння заданої площини у координатній формі має вигляд :

Рівняння площини, що проходить через

дві дані точки паралельно даному вектору.

Нехай дано дві точки М1(х1, у1, z1), М2 (х2, y2, z2) і вектор . Знайдемо рівняння площини, що проходить через дані точки пара¬лельно вектору. Нехай M (х, у, z) - довільна точка простору. Позначимо радіуси-вектори точок М, М1, М2 відповідно через.

За другий вектор, через який проходить задана площина, візьмемо

вектор Тоді рівняння даної площини, згідно з рівнянням (18), можна записати у вигляді:

Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів або , утворених цими площинами (рис.5). Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ни¬ми дорівнює 0 або .

Нехай кут між даними площинами . Тоді кут між нормальними векторами цих площин також дорі¬внюватиме або - . Кут знайдемо за формулою:

Поклавши в цій формулі , дістанемо умову перпендикулярності площин:

Якщо площини (22) паралельні, то і їхні нормальні вектори і також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів маємо

Звідси дістаємо умову паралельності площин:

Таким чином, у паралельних, площин коефіцієнти при відпові¬дних координатах пропорційні.

Відстань від точки до площини

Нехай площина задана нормальним рівнянням і дано точ¬ку

M0 (х0, у0. z0), що лежить поза площиною. Відстань від точки M0 до площини позначимо через а. Відхилом точки M0 від даної площини називається число якщо точка M0 і початок коорди¬нат лежать по різні боки від даної площини, і число , якщо точ¬ка M0 і початок координат лежать по один бік від площини

Із точки M0 на дану площину опустимо перпендикуляр М0 М1, де М1 (х1, у1, z1). Позначимо .

Розглянемо вектори

За правилом додавання векторів:

.

Враховуючи означення відхилу, вектор можна записати у вигляді

де - одиничний вектор променя.