Площина

Ах + Ву+ Cz + D = 0, (11)

коли всі його коефіцієнти і вільний член відмінні від нуля. Поділимо обидві частини рівняння (11) на D 0 і запишем

Рівняння площини у вигляді (13) називається рівнянням у від¬різках.

Знайдемо точки перетину площини (13) з координатними осями:

на осі абсцис у = z = 0, тоді х = а,

на осі ординат х = z =0, тоді у = b,

на осі аплікат х = у = 0, тоді z = с.

Таким чином, площина, задана рівнянням у відрізках, відтинає на координатних осях відповідно відрізки a, b і с.

Якщо потрібно побудувати площину, задану рівнянням, то зруч¬но це рівняння записати у відрізках на осях. Тоді по точках M1 (a, 0, 0), М2 (0, b, 0) і М3 (0, 0, c) легко побудувати площину (рис.2).

Рівняння площини, що проходить через три дані точки

Нехай дано три точки М1 (х1 у1, z1), М2 (х2, у2, z2), M3(x3,y3,z3), що не лежать на одній прямій. Ці точки однозначно визначають пло¬щину, яка проходить через них. Знайдемо рівняння цієї площини.

Візьмемо довільну точку простору M (х, у, z) (рис.3) і побу¬дуємо вектори:

Точка M (х, у, z) належить шуканій площині тоді і тільки тоді, коли вектори лежать у цій площині, тобто коли вони компланарні.

Запишемо цей добуток через координати векторів, які перемножаються. Маємо:Якщо радіуси-вектори точок М, М1, М2 і М3 відповідно позначити через то вектори можна зобразити у вигляді

Тоді рівняння (14) можна записати таким чином:

Рівняння (15) називається рівнянням площини, що прохо¬дить через три дані точки, у координатній формі, а рівняння (16) - у векторній формі.

Рівняння площини, що проходить

через дану точку паралельно двом даним векторам.

Нехай задано точку M0 (х0, у0, z0) і два неколінеарних (не пара¬лельних) вектори а і е. Ці умови геометрично однозначно визна¬чають площину, що проходить через задану точку паралельно зада¬ним векторам. Знайдемо рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через точку M0, грунтуючись на (1), запишемо у вигляді

А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) =0, (17)

де (А, В, С) - вектор, перпендикулярний до даної площини, або нормальний вектор площини (рис. 4).

За умовою площина паралельна векторам . Отже, норма¬льний вектор площини можна виразити через векторний добуток даних векторів .