Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа

Приклади.

1. Довести, що рівняння має лише один дійсний корінь.

Введемо функцію . Оскільки , а , то дане рівняння має дійсний корінь . Припустимо, що існує принаймні ще один корінь х2, тоді , причому для визначеності вважатимемо, що x1
Знайдена суперечність показує, що припущення про існування ще одного кореня було хибним.

2. Чи виконується теорема Ролля для функції на відрізку [1;5]? При якому значенні с?

Оскільки дана функція неперервна і деференційовна при всіх значеннях і її значення на кінцях відрізка [1;5] рівні між собою то теорема Ролля на цьому відрізку справджується.

Значення с знаходимо з рівняння f’(x)=2x-6=0, звідки с=3.

3. Крива у=х2-4х сполучає точки А(1;-3) і В(4;0). На дузі АВ знайти точку М0(х0; у0), в якій дотична паралельна хорді АВ.

Функція f(x)=x2-4x неперервна і диференційована на відрізку [1;4]. Тому за теоремою Лагранжа існує точка для якої

де f’(x)=2x-4. Підставивши відповідні значення, дістанемо

Отже точка М0 має координати

4. Для того щоб диференційована на відрізку [a;b] функція f(x) була сталою, необхідно і достатньо, щоб Довести.

Необхідність була доведена в п.2.2

Достатність. Нехай і точка x1
але тому Отже, або.

Оскільки х1 і х2 – довільні точки відрізка [a;b], то

5. Довести, що

Введемо функцію тоді

тому з попередньої задачі випливає, що

arcsinx+arccosx=c.

Поклавши в цій рівності х=0, знайдемо, що і .

Безпосередньо переконуємось, що ця рівність виконується і при

6. Оцінити точність наближеної рівності

Нехай функція f(x) має похідні f’(x), f”(x), . Візьмемо на інтервалі (a;b) дві точки: х і тоді за теоремою Лагранжа: