Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа

б). Маємо невизначеність виду тому

в). Тут невизначеність виду Зведемо її до невизначеності після чого застосовуємо правило Лопіталя:

г). Маємо невизначеність виду . Зведемо її до невизначеності після чого застосуємо правило Лопіталя:

д). Тут невизначеність виду . Маємо

Знайдемо границю в показнику. Для цього зведемо дану невизначеність до виду , потім скористаємось правилом Лопіталя:

е). Маємо невизначеність виду , тоді

є). Тут невизначеність виду 00, тоді

ж). Для розкриття цієї невизначеності правило Лопіталя потрібно застосувати п разів:

2. Теореми Коші і Лагранжа

Теорема Коші. Якщо функція і неперервні на відрізку [a;b], диференційовні в інтегралі (a;b), причому то існує така точка , що

Введемо допоміжну функцію

яку можна розглядати на відрізку [a;b], то . У противному разі за теоремою Ролля знайшлася б точка в якій що неможливо, бо за умовою

Неважко пересвідчитись, що функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому знайдеться точка , в якій F’(c)=0 або

звідки й випливає формула.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x), неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій

Цю теорему можна розглядати як окремий випадок теореми Коші. Справді, поклавши у формулі дістанемо формулу.

Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа. Запишемо формулу у вигляді

Тобто якщо функція задовольняє умові теореми Лагранжа, та на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої А (a;f(a)) i B(b;f(b)). Таких точок може бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.

Формулу називають формулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів, оскільки вона виражає точне значення приросту функції через похідну в деякій точці с інтервалу (a;b) і скінчене значення приросту аргументу . У теоремі Лагранжа вказується лише на існування точки с, для якої справедлива формула, але використання цієї теореми у математичному аналізі надзвичайно широке.

Теорема Лагранжа має також і механічну інтерпретацію. Якщо S=S(t), t1
.

Іншими словами, серед усіх можливих швидкостей S’(t), неодмінно знайдеться така швидкість S’(c), що коли її підтримувати сталою, то за той самий проміжок часу [t1;t2] точка пройде той самий шлях S(t2)-S(t1) , що і при русі із зміною швидкістю S’(t):Якщо при цьому русі в деякий момент часу τ доводиться повертати назад, то для цього швидкість потрібно повністю погасити: . Зрозуміло, що ці інтерпретації вірні лише тоді, коли закон руху S(t) задовольняє умови, які відповідають умовам теорем Ролля і Лагранжа.