Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа

1. Правило Лопіталя

У попередній главі ми ознайомилися з деякими способами розкриття невизначеностей. Розглянемо ще один спосіб, який ґрунтується на застосуванні похідних.

Теорема 1. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, причому

Вважатимемо, що х0 – скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х0, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х0. розглянемо відрізок [x0;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x0;x], диференційовні на (х0, х) і .

Тому за теоремою Коші знайдеться точка,

тому, що. Оскільки за умовою існує, якщо, то з рівності маємо:

Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Дійсно, поклавши , маємо

Зауваження 2. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що і функції і то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Цю саму границю матиме й відношення функцій:

Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду.

Теорема 2. Нехай функції і визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі

Тоді якщо існує границя то існує границя і

Цю теорему приймемо без доведення.

Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі – Лопіталя.

Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.

а). Якщо то невизначеність виду 0• можна звести до основних так:

б). Якщо то невизначеність виду зводиться до невизначеності :

в). Якщо, то

і невизначеність виду 00 зводиться до невизначеності 0• , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності і .

Таким чином, щоб розкрити невизначеності , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя.

Приклад.

Обчислити границі:

а). Тут невизначеність виду , тому за правилом Лопіталя маємо